Hilbert Oteli, Cantor Köşegeni ve Sayılamaz Kümeler
Cantor'un Köşegen Argümanı (Neden Sayılamaz?)
Diyelim ki birisi bize 0 ile 1 arasındaki tüm sayıları eksiksiz olarak listelediğini iddia etti. Georg Cantor diyor ki: "Bu listeye bakarak, listede OLMAYAN yepyeni bir sayı üretebilirim!"
Durum: Solda birinin "tüm sayıları içerdiğini" iddia ettiği sonsuz bir liste var. Sağda ise bizim üreteceğimiz yepyeni sayı duracak.
Oluşturulan Yeni Sayı
Önce köşegeni alacağız, sonra tersine çevireceğiz.
0.
Neden İşe Yarıyor? (Çelişki Yöntemi):
Yarattığımız yeni sayı listedeki 1. sayı olamaz çünkü 1. rakamı farklı. 2. sayı olamaz çünkü 2. rakamı farklı. n. sayı olamaz çünkü n. rakamı farklı!
Sonuç olarak; sayabileceğimizi (sıralayabileceğimizi) sandığımız liste eksiktir. Reel sayılar, sıraya konulamayacak kadar büyük bir sonsuzluktur (Alef-1).
Sonsuzluk Oteli (Sayılabilir Sonsuzluk)
Otelin sonsuz sayıda odası var ve tüm odalar dolu. Senaryoları test edin:
Durum: Otel tamamen dolu. Hangi senaryoyu denemek istersiniz?
Resepsiyon
Mantık: Sonsuzluk normal sayılar gibi davranmaz. Sonsuz dolu bir otele sonsuz kişi daha ekleyebilirsiniz. Sonsuzlukta parça bütüne denktir. (Galileo Paradoksu)
Cantor Kümesi (Hiçliğin İçindeki Sonsuzluk)
Bir doğru parçası alın ve tam ortadaki üçte birlik kısmını silin. Kalan parçalar için de aynı işlemi sonsuza kadar tekrarlayın.
Durum: Yükleniyor...
Neden İlginç? (Matematiksel Paradoks)
Bu işlemi sonsuz kez yaparsak, sildiğimiz parçaların toplam uzunluğu başlangıçtaki çizginin uzunluğuna eşit olur. Yani geriye kalan şeklin uzunluğu SIFIRDIR.
Ancak şaşırtıcı bir şekilde; geriye kalan noktaları saymaya kalkarsak, bu noktaların sayısı tıpkı kesilmemiş bir çizgi gibi Sayılamaz Sonsuzdur (Alef-1). Uzunluğu olmayan ama içi sonsuz nokta dolu bir küme!