Üç Köyün Ortak Kuyusu

ÜÇ KÖYÜN ORTAK KUYUSU

Pergel ve Cetvelle Fermat-Torricelli Noktası

Tema: Türev yok, koordinat yok: sadece 60 derecelik bir döndürme

1. Problem Kurgusu

Bozkırın ortasında, birbirine yürüme mesafesinde olan üç köy vardır: A, B ve C köyleri. Kuraklık nedeniyle devlet bu köylerin tam ortasına dev bir su kuyusu açmaya karar verir. Ancak bir şart vardır: kuyu öyle bir noktaya (X noktası) yapılmalıdır ki, her üç köyden kuyuya çekilecek su borularının toplam uzunluğu (AX + BX + CX) en az olsun.

"Soru: Herhangi bir ölçüm aleti, koordinat sistemi veya karmaşık türev hesaplamaları kullanmadan, harita üzerinde sadece bir pergel ve cetvel ile bu en ekonomik kuyu noktasını nasıl bulursunuz?"

2. Sıkıcı (ve Zor) Çözüm Yolu

Klasik bir lise veya üniversite öğrencisi bu soruyu gördüğünde hemen köyleri koordinat sistemine (x, y) oturtur ve şu şekilde uzayıp giden korkunç bir köklü denklem yazar:

f(x, y) = √[(x−a₁)²+(y−b₁)²] + √[(x−a₂)²+(y−b₂)²] + √[(x−a₃)²+(y−b₃)²]

Bu fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitlemeye çalışır. Sayfalarca işlem yapar, muhtemelen de bir yerde işlem hatası yapar.

3. "Aha!" Dedirten Zekâ Dolu Çözüm

Şimdi kalemi kâğıdı bırakın ve olaya bir matematik sihirbazı gibi bakalım. Hayalimizde kuyu noktası olan X'i bulduğumuzu varsayalım. İşte sihir başlıyor:

Geometrik Döndürme (Rotasyon)

Haritada A, X ve C noktalarını içeren üçgeni (AXC üçgenini) bir makasla kestiğinizi düşünün. Bu parçayı, A köyü etrafında tam 60 derece döndürün. C köyü yeni bir yere (C' noktası) gelir. X noktası da yeni bir yere (X' noktası) gelir.

Şimdi ne oldu? Ortaya çıkan mucizeye bakın: A noktası etrafında 60 derece döndürme yaptığımız için, A ile X ve yeni X' noktası bir eşkenar üçgen oluşturur! Çünkü aradaki açı 60 derece ve AX ile AX' uzunlukları birbirine eşit.

BX + AX + CX = BX + XX' + X'C'

Fark ettiniz mi? B köyünden yola çıkıp, kuyudan (X), onun hayali ikizinden (X') geçerek C' noktasına giden bir yol çizdik. Geometrinin en temel kuralı nedir? 'İki nokta arasındaki en kısa mesafe, dümdüz bir çizgidir.' Eğer bu boruların toplamının en kısa olmasını istiyorsak, B, X, X' ve C' noktaları dümdüz bir çizgi üzerinde olmalıdır!

Şekil 1 — AXC üçgeni, A etrafında 60° döndürülerek AX'C' konumuna taşınır. Kırmızı noktalı çizgi B'den C''ye kadar dümdüz uzandığında toplam boru uzunluğu en küçük olur.

4. Sonuç: Kuyu Nereye Kazılacak?

Artık mühendislere şu talimatı verebilirsiniz:

"Bana türev hesaplamayın! A ve C köylerini taban alan, dışarıya doğru eşkenar bir üçgen çizin. O üçgenin yeni köşesi (C') ile B köyü arasına dümdüz bir ip gerin. Kuyu (X noktası) kesinlikle bu ipin üzerinde bir yerde olmak zorundadır!"

Aynı işlemi diğer köşeler için de tekrarladığınızda iki ipin kesiştiği yer, milyonlarca liralık boru masrafından tasarruf ettirecek o meşhur Fermat-Torricelli Noktası'dır.